Questão 01 - C
Utilizando produtos notáveis, pode-se verificar a relação:
Ainda, temos que:
Portanto:
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Questão 02 - D
Resolvendo a primeira inequação do sistema, temos:
Tem-se uma inequação quociente. Realizando o estudo de sinais, temos:
Da segunda inequação, temos que
.
Portanto, a intersecção das soluções das inequações é dada por:
As soluções inteiras são os elementos do conjunto
.
Logo, o sistema de inequações admite
soluções inteiras.
Portanto,
.
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Questão 03
Pelo enunciado podemos escrever
, com
, cujo afixo é um ponto qualquer do eixo das ordenadas (eixo imaginário). Já o afixo de
está em uma circunferência de centro em
e raio
, ou seja, pertence à circunferência:
Este Lugar Geométrico de
, a circunferência acima, sempre passa pela origem, ou seja,
é sempre solução. Ele também passa sempre pelo ponto
, que é o ponto mais afastado possível da origem. Assim,
é o valor máximo de
.
As alternativas a e b são falsas pela mesma razão: não há nada no enunciado que restrinja o sinal algébrico de
.
A alternativa d é falsa pois teremos sempre uma semi-circunferência onde
, exceto quando
.
A alternativa e é falsa pois podemos ter
... Acompanhe:
Caso
então teremos, de fato,
, o que torna verdadeiro afirmar que
.
Já se tivermos, entretanto,
, então escrevemos
, e a sentença
passa a estar errada.
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Questão 04 - E
O termo geral do desenvolvimento do binômio é dado por:
O termo independente de x é tal que seu expoente é nulo. Portanto,
.
O termo independente é dado por:
O coeficiente binomial é dado por:
Aplicando a fórmula do arco duplo, temos:
Mas, pelo enunciado, temos que
. Portanto,
.
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Questão 05 - B
Para resolução desta questão, vamos utilizar alguns produtos notáveis:
Fazendo
e
, temos:
Utilizando a Relação Fundamental da Trigonometria e o fato de que
, temos:
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Questão 06 - D
Sabendo que:
Podemos escrever
tal que
e
Pelo teorema de Binet,
, logo:
Na primeira hipótese temos:
Na segunda hipótese temos:
Assim
, cuja soma dos elementos é 3.
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Questão 07 - A
Aplicando as propriedades dos logaritmos e das potências, temos que:
Fazendo
, temos que:
Para
, temos que
.
Para
, temos que
. Porém esta solução não satisfaz a equação original.
Portanto:
.
Portanto, temos que
ou
.
O produto das soluções é igual
.
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Questão 08 - B
Calcula-se o valor de
para
.
Conclui-se que
.
Portanto,
, etc.
O valor mínimo de
ocorrerá quando:
.
Assim:
Verifica-se que
. <="" p="">
! (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)
! 7^2=25+2(xy+xz+yz)
! xy+xz+yz=12
xyz\neq 0
! \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}\rightarrow xy+xz+yz=\frac{xyz}{4}\rightarrow xyz=48
! (x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz
! 7^3=x^3+y^3+z^3+3\cdot7\cdot12-3\cdot48
! 343=x^3+y^3+z^3+252-144
! x^3+y^3+z^3=235
x,\ y,\ e\ z
p(t)t^3-7t^2+12t-48
S_k=x^k+y^k+z^k
S_1=7
S_2=25
S_0=3
! S_3-7S_2+12S_1-48S_0=0
! S_3-7\cdot25+12\cdot7-48\cdot3=0
! S_3 = 235
\{2;3\}, \{2;6\}, \{3;5\}\ e\ \{5;6\}
8\times6=48
b_2
a_4
b_3
a_1
!3-b_1q+3r+b_1q^2=26
!b_1q(q-1)=23-3r
r \in \{1;2;3;\dots\}
b_1q(q-1)
r
b_1q(q-1)
!b_1q(q-1) \in \{6;12;20;32;42;\dots\}
q(q-1)
q(q-1)=20
b_1=1
\bar{CD}
r
\bar{CD}
F
! F=\left(t;\frac{7-t}{3}\right);1
S_{ABCF}=S_{AFDE}
! -\frac{1}{2}(+x_Ay_b+x_By_c+x_Cy_F+x_FyA-x_Fy_C+x_Cy_B-x_By_A-x_Ay_F) = ! -\frac{1}{2}(+x_Ay_F+x_Fy_D+x_Dy_E+x_EyA-x_Ey_D+x_Dy_F-x_Fy_A-x_Ay_E) = 
x_F=ty_F=\frac{7-t}{3}! -\frac{1}{2}\left(-2+\frac{7-t}{3}-2t-1\right)=-\frac{1}{2}\left(t+2-3-4\left(\frac{7-t}{3}\right)\right) ! t = 29/14 
x_F=29/14y_F=69/42
! x_F+y_F=26/17 
! arc\ tg\frac{4}{3} \cong 53,13^o 
! arc\ tg\{frac{3}{4} \cong 36,87^o 
A\hat{I}EB\hat{J}FC\hat{K}GD\hat{L}H
IJKL
! AF = \frac{5a}{4}; AI=\frac{3a}{5}; JF=\frac{9a}{20} 
l
IJKL! l = AF - AI - JF ! l = \frac{5a}{4}-\frac{3a}{5}-\frac{9a}{20} ! l = \frac{a}{5} \rightarrow l^2=\frac{a^2}{25} 
ab
a
!="" 6(a+b)="36\rightarrow" a+b+6\="" cm="" 
>
Como a aresta da base menor é exatamente a metade da aresta da base maior, então sabemos que a pirâmide original foi cortada exatamente na metade de sua altura, que era portanto 6 cm.
Assim, a pirâmide original tinha base hexagonal de aresta 4 cm e altura 6 cm, com o que determinamos seu volume:
O volume retirado foi certamente 
, dada a proporção 1:2 entre os comprimentos correspondentes nas duas pirâmides, o que nos permite calcular o volume do tronco:
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Questão 15 - E
Escrevemos as Relações de Girard:
Sabemos que
,
e
são inteiros positivos distintos, sendo
e
(sem perder generalidade) já sabidamente divisores positivos de 80. Como o enunciado diz “duas raízes são divisoras de 80” ao invés de dizer “exatamente duas raízes são divisoras de 80”, então podemos ter
eventualmente divisor de 80.
O número 80 tem exatamente dez divisores, assim enumerados:
Pela segunda equação de Girard, temos:
Como
é positivo, sabemos que o produto
não pode alcançar ou ultrapassar o valor 80, o que nos permite eliminar 25 possibilidades e estreitar nossa busca para 20 possibilidades.
Em um trabalho enfadonho, porém possível de se realizar no tempo da prova, o aluno faz a conta
para cada um dos 20 pares possíveis, no canto do rascunho, percebendo que
só será inteiro em 7 dos casos:
As possibilidades
e
, que levam respectivamente a
e
, são repetições do caso
com
, pois nos dão o mesmo conjunto final de raízes. Nota-se também que em dois casos listados temos raízes não distintas, o que nos reduz a 3 possibilidades:
Para cada um desses cenários, segue respectivamente o valor de
:
Desses, apenas
apresenta a propriedade de que o produto de seus divisores próprios vale
:
Assim temos
e
.
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Questão 16 - C
De acordo com a lei de Dalton para a evaporação, temos:
A temperatura é a mesma em ambas as medições, logo as pressões de vapor saturado são iguais e o parâmetro é o mesmo para ambos os casos. Desse modo, temos:
Logo
.
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Questão 17 - C
Como não é fornecido nenhum coeficiente para calcular a dilatação da garrafa, consideraremos o processo isocórico.
O gás é monoatômico ideal, logo:
.
Finalmente:
.
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Questão 18 - A
O vetor posição entre B e A é dado por:
.
O vetor velocidade de A é dado por:
.
A força elétrica entre A e B será ortogonal à trajetória de A quando o vetor que une B e A for ortogonal à velocidade de A. Logo:
De onde vem:
Portanto, como
, tem-se:
.
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Questão 19 - C
Tempo total para ida e volta da onda sonora refletida no primeiro degrau:
Tempo total para ida e volta da onda sonora refletida no segundo degrau:
Mas,
, logo:
.
Para que haja interferência construtiva, a diferença entre os tempos da onda refletida no segundo degrau e da onda refletida no primeiro degrau deve ser múltiplo de um período da onda, ou seja:
A menor frequência ocorre para
, logo:
.
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Questão 20 - A
O trabalho da força do solo é, em módulo, igual à diferença entre a energia mecânica inicial e a energia mecânica final do corpo. Logo:
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Questão 21 - B
Diagrama das forças que atuam na barra CE:
Como a estrutura está em equilíbrio, a barra CE também está.
Condições de equilíbrio:
A densidade linear é obtida por:
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Questão 22 - C
A tração no cabo é igual à componente do peso do bloco na direção do plano inclinado.
Diagrama das forças que atuam na roldana:
Do Princípio de Pascal, temos que:
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Questão 23 - A
O fluxo de calor na situação final corresponde a 40% do fluxo na situação inicial, logo:
Além disso, temos que:
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Questão 24 - E
A amplitude dos pulsos refletido e transmitido se relacionam com a amplitude do pulso incidente que se propagava no meio 1 em direção ao meio 2 através das seguintes expressões:
Onde
é a impedância acústica do meio 1 e
é a impedância acústica do meio 2.
O pulso incidente é dado por:
, logo:
.
O pulso transmitido é dado por:
, logo:
.
Pela fórmula de Taylor, temos:
e
, logo:
.
Desse modo, temos:
.
Logo, para o pulso refletido, temos:
Obs: Para o pulso transmitido, teríamos:
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Questão 25 - D
Pelo que diz o enunciado, podemos supor que a potência fornecida pela placa seja:
O ângulo
assinalado acima é o ângulo entre a normal à placa e a radiação incidente. Supondo que apenas um lado da placa forneça energia elétrica, e pela simplicidade do enunciado quanto ao espectro de valores possíveis para
, vou considerar
pequeno o suficiente para que tenhamos
.
Nota-se que no “instante inicial”, ou seja, para
, o ângulo
é o ângulo entre a diagonal do cubo (chegando em A na figura) e o plano da base do cubo (contém BC). Segue, portanto:
Quando a estrutura girar
, teremos
. O valor de
cresce de
até
, diminuindo a potência de
até 0, tudo bem coerente com o enunciado.
A potência
para \theta=0 vale:
A potência requerida para alimentar
com
vale:
A potência acima foi chamada de “mínima” pois, pelo que dá a entender o enunciado, juntamente com nossa resolução até aqui, imaginamos que o aparelho irá funcionar para qualquer que nos dê uma potência maior do que
.
Confesso que achei isso confuso... Não há como alimentar uma resistência fixa com tensão fixa e potência variável!
Mas enfim, supondo a hipótese simplificadora de que o aparelho vai funcionar se
, temos que
deve crescer desde
até um valor final
, tal que:
Sendo assim, teremos
crescendo no intervalo
enquanto a potência diminui no intervalo
Como
, então teremos:
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Questão 26 - E
Dada a simetria do circuito, é fácil observar que para cada módulo, o resistor localizado entre A e B (assinalado na figura) estará em curto circuito.
Observando o paralelismo existente entre os
módulos, temos:
Por fim, aplicando novamente a simetria do circuito acima, temos:
Resolvendo a série, temos:
Então:
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Questão 27 - A
Para o trecho sob influência do campo magnético, temos:
Além disso, da figura temos:
Como
, temos:
Para trecho sem campo magnético, temos:
Logo:
Como
, temos:
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Questão 28 - C
O raio da mancha de óleo cresce com aceleração constante. Logo:
.
O cone de sombra abaixo da mancha de óleo é definido a partir do ângulo limite de refração. Logo:
A altura
do cone é dada por:
.
Finalmente, o volume do cone é dado por:
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Questão 29 - C
Segue figura ilustrativa do problema:
O alcance do projétil é dado por:
Da Equação de Torricelli, obtém-se a aceleração linear do projétil no interior do tubo:
O tempo necessário para o deslocamento do projétil é tal que:
O deslocamento angular do projétil foi de
.
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Questão 30 - B
Acompanhe o desenho abaixo, que ilustra a colisão elástica:
Vamos considerar que o problema seja simétrico, ou seja, tudo o que acontece no intervalo
(como no desenho acima) acontecerá de forma simétrica em
(na parte de baixo do desenho). Vamos considerar também que o feixe incidente, na direção horizontal da figura, coincide em direção e sentido com o eixo
. O desenho estaria, portanto, no plano
tradicional, recorte do espaço feito pelo plano
.
Com o auxílio dos números complexos, podemos navegar rapidamente pelas coordenadas dos vetores do problema...
O vetor velocidade inicial do projétil, antes da colisão, é:
O vetor velocidade final do projétil, após a colisão, é:
A variação de velocidade foi:
Considerando
a massa do projétil e
a duração da colisão, temos o vetor força (média) que atuou sobre o projétil:
Pelo princípio da ação e da reação, temos que atuou sobre a esfera uma força igual e contrária:
Assim, apenas a componente horizontal (parte real) vai sobrar:
Levando em conta a simetria assumida para o problema, vamos considerar que uma das superfícies estará disposta em
, enquanto a outra superfície estará disposta na união do intervalo
com o intervalo
, e que tal disposição seja a mesma em todos os outros planos que passam pelo eixo
(além do plano
), de modo que a única força que sobrará de todas as colisões elásticas será a componente em
.
Nas colisões inelásticas, tal como antes, a força resultante é paralela ao eixo
, só que agora o esforço é menor para entender o motivo: toda a quantidade de movimento horizontal é absorvida pela esfera! Segue:
Consideremos uma densidade uniforme de projéteis chegando à superfície da esfera, de tal modo que as duas porções simétricas
e
tenham uma massa resultante
, onde
se mede em quilogramas por radiano no Sistema Internacional.
Assim, varrendo
no intervalo
, escrevemos a força horizontal resultante num trecho
de colisão elástica:
Num trecho
de colisão inelástica, temos:
Na primeira hipótese possível para o problema, temos colisão elástica (refletora) para
e inelástica (absorvedora) em
. Assim, a força resultante sobre a esfera será:
Esta força será máxima quando
, de onde temos o cenário da alternativa B do problema.
Na segunda hipótese possível para o problema, temos colisão inelástica (absorvedora) para
e elástica (refletora) em
. Assim, a força resultante sobre a esfera será:
Esta força será máxima quando
for o menor possível. Como
só chega em
, o valor de
tem seno não-negativo, de onde a força máxima acontecerá para
, cujas soluções são
e
, ou seja, toda a esfera está coberta pelo mesmo tipo de superfície, não havendo portanto dois deles. Este cenário só é compatível com a alternativa E.
De qualquer modo, comparando os dois cenários, no primeiro tivemos uma força máxima:
Já no segundo, nossa força máxima foi:
Então não há dúvidas de que a resposta é B.
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Questão 31 - C
a) Falso. Grafite e diamante são alótropos.
b) Falso. Verifica-se pelo diagrama de fases do carbono que o diamante é a variedade mais estável a altas pressões.
c) Correto. Na transformação do grafite para o diamante,
. Ou seja, na transformação inversa, do diamante para o grafite,
. Como
é negativo, temos que a transformação é espontânea.
d) Falso. O grafite é mais estável (mais abundante na natureza), e assim tem menor entalpia absoluta. Portanto, na transformação do grafite para o diamante, deve-se absorver energia
.
e) Falso. Pode ser observado também no diagrama de fases.
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Questão 32 - B
(i) O elemento do cátion possui 12 prótons, ou seja, está na família 2A e terceiro período. Seu número de nêutrons é 12 (isótopo mais estável), portanto a sua massa atômica deve ser aproximadamente 24 u.
(ii) O elemento do ânion possui 7 prótons, uma vez que seu ânion trivalente tem 10 elétrons. O elemento está na família 5A e segundo período. Seu número de nêutrons é 7 (isótopo mais estável), portanto a sua massa atômica deve ser aproximadamente 14 u.
Devido às cargas dos íons, o composto formado será
, onde C é o elemento do cátion e A é o elemento do ânion. Portanto, a massa molar de
deve ser:
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Questão 33 - D
i) Na estrutura 1, a hibridização deve ser
. Com a hibridização, deve haver 4 orbitais semipreenchidos para receber F, e dois preenchidos, onde um par será direcionado ao O e o outro ficará isolado. Elementos da 8A atendem a esse requisito. Ao lado estão representados, para um elemento da 8A, os estados fundamental, excitado e hibridizado, respectivamente.
ii) Na estrutura 2, a hibridização deve ser
. Com a hibridização, deve haver 4 orbitais semipreenchidos para receber F, e um preenchido, onde estará o par isolado. Elementos da 6A atendem a esse requisito.
(iii) Na estrutura 3, a hibridização deve ser
. Com a hibridização, deve haver 5 orbitais semipreenchidos para receber F. Elementos da 5A atendem a esse requisito.
Obs.: para que as hibridizações
e
sejam possíveis, é preciso que o elemento esteja do terceiro período em diante, pois nos dois primeiros períodos não há subnível d.
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Questão 34 - E
a) Falso. As solubilidades também são as mesmas.
b) Falso. Em 2 ocorre uma transição de estrutura cristalina, passagem de hidratada para anidro.
c) Falso. A solução A está apenas insaturada, o que é um equilíbrio estável.
d) Falso. O ponto 2 registra uma mudança em A.
e) Correto. Ao aquecer a solução, os gases normalmente escapam devido à sua volatilidade, diminuindo a solubilidade.
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Questão 35 - A
Seja uma amostra de 100 g do óxido. Assim, temos 53 g de cromo e 47 g de oxigênio.
Em número de mol, temos:
Nota-se que a proporção entre Cr e O vale 1:3. A fórmula mínima então é CrO3.
O calor específico do Cr-54 pode ser calculado pela regra empírica de Dulong-Petit.
cA ≈ 6,4
c ≈ 6,4/54 = 0,12 cal/gºC
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Questão 36 - C
Redução do zinco metálico:
Pela proporção estequiométrica, temos:
1 mol Zn : 2F (carga de 2 mol de elétrons)
7/65 mol : Q
Q = 7.2.96500/65 = 20785 C
Sabendo-se que Q = iΔt, temos:
Δt = Q/i = 20785/0,7 = 29692 s = 8,25 h = 8 h e 15 min
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Questão 37 - A
Benzeno + cloreto de etanoíla:
Benzeno + etanoato de etanoíla:
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Questão 38 - D
Aplicando a expressão que relaciona as massas e o número de meias-vidas decorridas:
Logo, após 4 dias (96 horas), passaram-se 8 meias-vidas. Logo, o tempo de meia-vida vale:
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Questão 39 - C
a) Falso. Existem 3 estereoisômeros.
b) Falso. Metilcicloexano não apresenta estereoisomeria.
c) Correto. Os dois isômeros são imagem no espelho.
d) Falso. Existem dois diastereoisômeros (cis e trans).
e) Falso. Existem dois diastereoisômeros (cis e trans).
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Questão 40 - B
a) Falso. A adição de sólido não desloca o equilíbrio.
b) Verdadeiro.
, onde Δn é a variação do número de mols de gás da reação.
c) Falso. A remoção de sólido não desloca o equilíbrio.
d) Falso.
, logo
.
e) Falso. A constante de equilíbrio depende da temperatura.
